微分積分例

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} < 1$

ステップ 1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

ステップ 2

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $2 x + 4$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

ステップ 2.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 2} - 1 < 0$

ステップ 2.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 < 0$

ステップ 2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ を掛けます。

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.3

$- 1$ と $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ をまとめます。

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (x + 2) - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x + 4 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 4 - (3 x) - - 2}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + 4 - 3 x - - 2}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x + 4 - 3 x + 2}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5.6

$2 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{- x + 4 + 2}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.5.7

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- x + 6}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 6}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.7

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.9

$- (x - 6)$ を $- 1 (x - 6)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 6}{3 x - 2} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 6 = 0$

$3 x - 2 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 6

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 6$

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 6, \frac{2}{3}$

ステップ 9

$- \frac{x - 6}{3 x - 2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x - 6}{3 x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 9.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 9.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 9.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 6$

$x > 6$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 (0) + 4}{3 (0) - 2} < 1$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 2$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $\frac{2}{3} < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{2}{3} < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{2 (3) + 4}{3 (3) - 2} < 1$

ステップ 11.2.3

左辺 $1.\overline{428571}$ は右辺 $1$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{2 (8) + 4}{3 (8) - 2} < 1$

ステップ 11.3.3

左辺 $0.\overline{90}$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{2}{3}$ 真

$\frac{2}{3} < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

$x < \frac{2}{3}$ 真

$\frac{2}{3} < x < 6$ 偽

$x > 6$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < \frac{2}{3}$ または $x > 6$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (6, \infty)$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例