微分積分例

$x^{2} + 6 x + 9 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 6 x + 9 = 0$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + 6 x + 3^{2} = 0$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 3

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$x > - 3$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{2} + 6 (- 6) + 9 > 0$

ステップ 6.1.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 6.2

区間 $x > - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $x > - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 6 (0) + 9 > 0$

ステップ 6.2.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$x > - 3$ 真

$x < - 3$ 真

$x > - 3$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 3$ または $x > - 3$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 9

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$