微分積分例

$\frac{x}{y} + \sqrt{x + y} = e^{x y}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + y}$ を ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = e^{x y}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.3.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y')$

ステップ 3.3.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y')$

ステップ 3.3.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

ステップ 3.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

ステップ 3.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y')$

ステップ 3.3.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y')$

ステップ 3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y')$

ステップ 3.3.10

$\frac{1}{2}$ と ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y')$

ステップ 3.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ と $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y - x y' + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$y^{2}$ と $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y - x y' + \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')}{y^{2}}$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 4.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 4.5

$y$ に $1$ をかけます。

$e^{x y} (x y' + y)$

ステップ 4.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分配則を当てはめます。

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

ステップ 4.6.2

項を並べ替えます。

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{- x y' + (1 + y') (\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + y}{y^{2}} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.2

$1 + y'$ に $\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$- x y' + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.3

$- x y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

$- x y'$ と $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 1 y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.5.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.6

$y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.7

$y$ と $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.10

$- 1$ を $- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.11

$- 1$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.12

$- 1$ を $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.13

$- 1$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.14

$- 1$ を $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.15

$- 1$ を $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.16

$- 1$ を $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.17

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.17.1

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ を $- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.1.1.17.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$(e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y \cdot y^{2}$

ステップ 6.2.2.1.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y)$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y^{1})$

ステップ 6.2.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{2 + 1}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$

ステップ 6.2.2.1.3

$e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = x y' y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

ステップ 6.2.2.1.4

$x$ と $y'$ を並べ替えます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

ステップ 6.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

両辺に $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1.1

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.1.2

共通因数を約分します。

ステップ 6.3.2.1.1.1.3

式を書き換えます。

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.3.2

$- - y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 1 y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.3.2.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.3.3

$- (- y' y^{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + 1 (y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.3.3.2

$y'$ に $1$ をかけます。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.3.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 (y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.4

括弧を削除します。

$- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.5.1

$x$ を移動させます。

$- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.5.2

$- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$y^{2} + y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.1.1.5.3

$y^{2}$ と $y' y^{2}$ を並べ替えます。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$(y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = y' x y^{2} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.2.1.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}$

ステップ 6.3.3.2.2

方程式の両辺から $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.3

$y'$ を $y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

$y'$ を $y' y^{2}$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.3.2

$y'$ を $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.3.3

$y'$ を $- 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.3.4

$y'$ を $y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.3.5

$y'$ を $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.3.4

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$\frac{y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.3.3.4.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2.3

$y$ を $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.3.2.3.1

$y$ を $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2.3.2

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2.3.3

$y$ を $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2.3.4

$y$ を $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3.4.3.2.3.5

$y$ を $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例