微分積分例

$x^{6} (x + y) = y^{2} (8 x - y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{6} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (8 x - y))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{6} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$x^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{6} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{6} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.4

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{6} (1 + y') + (x + y) (6 x^{5})$

ステップ 2.5

$6$ を $x + y$ の左に移動させます。

$x^{6} (1 + y') + 6 \cdot (x + y) x^{5}$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{6} \cdot 1 + x^{6} y' + 6 (x + y) x^{5}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{6} \cdot 1 + x^{6} y' + (6 x + 6 y) x^{5}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{6} \cdot 1 + x^{6} y' + 6 x \cdot x^{5} + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$x^{6}$ に $1$ をかけます。

$x^{6} + x^{6} y' + 6 x \cdot x^{5} + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.4.2

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.2.1

$x^{5}$ を移動させます。

$x^{6} + x^{6} y' + 6 (x^{5} x) + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.4.2.2

$x^{5}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{6} + x^{6} y' + 6 (x^{5} x^{1}) + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{6} + x^{6} y' + 6 x^{5 + 1} + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.4.2.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$x^{6} + x^{6} y' + 6 x^{6} + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.4.3

$x^{6}$ と $6 x^{6}$ をたし算します。

$7 x^{6} + x^{6} y' + 6 y x^{5}$

ステップ 2.6.5

項を並べ替えます。

$7 x^{6} + x^{6} y' + 6 x^{5} y$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = y^{2}$ および $g (x) = 8 x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y^{2} \frac{d}{d x} [8 x - y] + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $8 x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$y^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.4

$8$ に $1$ をかけます。

$y^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- y]) + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$y^{2} (8 - \frac{d}{d x} [y]) + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y^{2} (8 - y') + (8 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$y^{2} (8 - y') + (8 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} (8 - y') + (8 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y^{2} (8 - y') + (8 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.5

$2$ を $8 x - y$ の左に移動させます。

$y^{2} (8 - y') + 2 \cdot (8 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y^{2} (8 - y') + 2 (8 x - y) y y'$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} \cdot 8 + y^{2} (- y') + 2 (8 x - y) y y'$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} \cdot 8 + y^{2} (- y') + (2 (8 x) + 2 (- y)) y y'$

ステップ 3.7.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} \cdot 8 + y^{2} (- y') + (2 (8 x) y + 2 (- y) y) y'$

ステップ 3.7.4

分配則を当てはめます。

$y^{2} \cdot 8 + y^{2} (- y') + 2 (8 x) y y' + 2 (- y) y y'$

ステップ 3.7.5

項をまとめます。

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ステップ 3.7.5.1

$8$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$8 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (8 x) y y' + 2 (- y) y y'$

ステップ 3.7.5.2

$8$ に $2$ をかけます。

$8 y^{2} + y^{2} (- y') + 16 x y y' + 2 (- y) y y'$

ステップ 3.7.5.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$8 y^{2} + y^{2} (- y') + 16 x y y' - 2 y \cdot y y'$

ステップ 3.7.5.4

$y$ を $1$ 乗します。

$8 y^{2} + y^{2} (- y') + 16 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

ステップ 3.7.5.5

$y$ を $1$ 乗します。

$8 y^{2} + y^{2} (- y') + 16 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

ステップ 3.7.5.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 y^{2} + y^{2} (- y') + 16 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

ステップ 3.7.5.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 y^{2} + y^{2} (- y') + 16 x y y' - 2 y^{2} y'$

ステップ 3.7.5.8

$y^{2} (- y')$ から $2 y^{2} y'$ を引きます。

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ステップ 3.7.5.8.1

$y^{2}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$8 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 16 x y y'$

ステップ 3.7.5.8.2

$- 1 \cdot y^{2} y'$ から $2 y^{2} y'$ を引きます。

$8 y^{2} - 3 y^{2} y' + 16 x y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$7 x^{6} + x^{6} y' + 6 x^{5} y = 8 y^{2} - 3 y^{2} y' + 16 x y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$8 y^{2} - 3 y^{2} y' + 16 x y y' = 7 x^{6} + x^{6} y' + 6 x^{5} y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x^{6} y'$ を引きます。

$8 y^{2} - 3 y^{2} y' + 16 x y y' - x^{6} y' = 7 x^{6} + 6 x^{5} y$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $8 y^{2}$ を引きます。

$- 3 y^{2} y' + 16 x y y' - x^{6} y' = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$

ステップ 5.4

$y'$ を $- 3 y^{2} y' + 16 x y y' - x^{6} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $- 3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) + 16 x y y' - x^{6} y' = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $16 x y y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) + y' (16 x y) - x^{6} y' = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $- x^{6} y'$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2}) + y' (16 x y) + y' (- x^{6}) = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$

ステップ 5.4.4

$y'$ を $y' (- 3 y^{2}) + y' (16 x y)$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} + 16 x y) + y' (- x^{6}) = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$

ステップ 5.4.5

$y'$ を $y' (- 3 y^{2} + 16 x y) + y' (- x^{6})$ で因数分解します。

$y' (- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}) = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$

ステップ 5.5

$y' (- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}) = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$ の各項を $- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}) = 7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}$ の各項を $- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}$ で割ります。

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6})}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} = \frac{7 x^{6}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} + \frac{6 x^{5} y}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} + \frac{- 8 y^{2}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{7 x^{6}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} + \frac{6 x^{5} y}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} + \frac{- 8 y^{2}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{7 x^{6}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} + \frac{6 x^{5} y}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} - \frac{8 y^{2}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}}$

ステップ 5.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}} - \frac{8 y^{2}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}}$

ステップ 5.5.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- 3 y^{2} + 16 x y - x^{6}}$

ステップ 5.5.3.4

$- 1$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 16 x y - x^{6}}$

ステップ 5.5.3.5

$- 1$ を $16 x y$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 16 x y) - x^{6}}$

ステップ 5.5.3.6

$- 1$ を $- (3 y^{2}) - (- 16 x y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- (3 y^{2} - 16 x y) - x^{6}}$

ステップ 5.5.3.7

$- 1$ を $- x^{6}$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- (3 y^{2} - 16 x y) - (x^{6})}$

ステップ 5.5.3.8

$- 1$ を $- (3 y^{2} - 16 x y) - (x^{6})$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- (3 y^{2} - 16 x y + x^{6})}$

ステップ 5.5.3.9

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.5.3.9.1

$- (3 y^{2} - 16 x y + x^{6})$ を $- 1 (3 y^{2} - 16 x y + x^{6})$ に書き換えます。

$y' = \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 16 x y + x^{6})}$

ステップ 5.5.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{3 y^{2} - 16 x y + x^{6}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 x^{6} + 6 x^{5} y - 8 y^{2}}{3 y^{2} - 16 x y + x^{6}}$

微分積分 例

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