微分積分例

$x^{5 y} = y^{6 x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f = x$ および $g = 5 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

ステップ 2.2.2

$5$ に $1$ をかけます。

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

ステップ 2.2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

ステップ 2.4.2

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ の因数を並べ替えます。

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f = y$ および $g = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

ステップ 3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

ステップ 3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

項を並べ替えます。

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

ステップ 3.6.2

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ の因数を並べ替えます。

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

ステップ 5.2

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ の因数を並べ替えます。

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

ステップ 5.3

$- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ の因数を並べ替えます。

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

ステップ 5.4

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (x)$ を簡約します。

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

ステップ 5.4.1.2

対数の中の $6$ を移動させて $- 6 \ln (y)$ を簡約します。

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

ステップ 5.4.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

ステップ 5.5

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ の因数を並べ替えます。

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

ステップ 5.6

方程式の両辺から $6 x y' y^{6 x - 1}$ を引きます。

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

ステップ 5.7

方程式の両辺に $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ を足します。

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

ステップ 5.8

$y'$ を $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ で因数分解します。

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ステップ 5.8.1

$y'$ を $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ で因数分解します。

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

ステップ 5.8.2

$y'$ を $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ で因数分解します。

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

ステップ 5.8.3

$y'$ を $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ で因数分解します。

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

ステップ 5.9

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ の各項を $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.9.1

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ の各項を $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ で割ります。

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.9.2.1

$\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.9.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.9.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.3.2

$- 1$ を $- 5 y x^{5 y - 1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.3.3

$- 1$ を $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.3.4

$- 1$ を $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.3.5

式を簡約します。

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ステップ 5.9.3.5.1

$- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ を $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 5.9.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

微分積分 例

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