微分積分例

$x^{5} + y^{3} = \frac{1}{y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{5} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 x^{4} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 x^{4} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 1$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$y$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [y]$ を引きます。

$\frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \frac{y'}{y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$5 x^{4} + 3 y^{2} y' = - \frac{y'}{y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$(5 x^{4} + 3 y^{2} y') y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2} y' y^{2} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$5 x^{4} y^{2} + 3 (y^{2} y^{2}) y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{2 + 2} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y^{4} y' = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.1.1.3

$y^{4}$ を移動させます。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - \frac{y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$- \frac{y'}{y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = \frac{- y'}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} = - y'$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $y'$ を足します。

$5 x^{4} y^{2} + 3 y' y^{4} + y' = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $5 x^{4} y^{2}$ を引きます。

$3 y' y^{4} + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $3 y' y^{4} + y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.1

$y'$ を $3 y' y^{4}$ で因数分解します。

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

ステップ 5.3.3.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' (3 y^{4}) + y' = - 5 x^{4} y^{2}$

ステップ 5.3.3.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1 = - 5 x^{4} y^{2}$

ステップ 5.3.3.4

$y'$ を $y' (3 y^{4}) + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$

ステップ 5.3.4

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ の各項を $3 y^{4} + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$y' (3 y^{4} + 1) = - 5 x^{4} y^{2}$ の各項を $3 y^{4} + 1$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

ステップ 5.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.2.1

$3 y^{4} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{4} + 1)}{3 y^{4} + 1} = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

ステップ 5.3.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

ステップ 5.3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y^{2}}{3 y^{4} + 1}$

微分積分 例

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