微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ です。

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $\frac{4}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1.1

まとめる。

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.1.1.3.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.6

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $2, - 2$ です。

$2, - 2$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $9$ をかけます。

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

ステップ 5.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 5.2.3

$- 3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

ステップ 5.2.5.2

$27$ から $12$ を引きます。

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは $\frac{15}{4}$ です。

$\frac{15}{4}$

ステップ 5.3

$x = - 3$ で微分係数は $\frac{15}{4}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 2, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

ステップ 6.2.1.3

$0$ を $4$ で割ります。

$f' (0) = 0 - 3$

ステップ 6.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f' (0) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(- 2, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 2, 2)$ で減少

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1.1.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1.1.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

ステップ 7.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

ステップ 7.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

ステップ 7.2.2

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.3

$- 3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

ステップ 7.2.5.2

$27$ から $12$ を引きます。

$f' (3) = \frac{15}{4}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $\frac{15}{4}$ です。

$\frac{15}{4}$

ステップ 7.3

$x = 3$ で微分係数は $\frac{15}{4}$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 2), (2, \infty)$ で増加

$(- 2, 2)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例