微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x^{2} - 16$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$2$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2.2

$- 32 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.6.5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$32 x = 0$

ステップ 2.3

$32 x = 0$ の各項を $32$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$32 x = 0$ の各項を $32$ で割ります。

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{32}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $32$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.2.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.2.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.2.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.2.3

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.3.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.2.3.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.2.4

最終解は ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 3.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 4, x = 4$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0^{2} - 16}$

ステップ 4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - 16}$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$\frac{0}{- 16}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $- 16$ で割ります。

$0$

ステップ 4.2

$x = - 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 16}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(- 4)}^{2}}{16 - 16}$

ステップ 4.2.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{{(- 4)}^{2}}{0}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} - 16}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(4)}^{2}}{16 - 16}$

ステップ 4.3.2.2

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{{(4)}^{2}}{0}$

ステップ 4.3.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例