微分積分例

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.2

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x^{2} y^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}}$ に $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.2

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$ に $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.3

$y^{2} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に $x^{2} y^{2}$ を掛けます。

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$x^{2} y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.3

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.3.1

$y$ を移動させます。

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.3.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.4

分配則を当てはめます。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.6.1

$x$ を移動させます。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.3.1

$y^{2}$ を移動させます。

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$x$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.3

$x^{3}$ を移動させます。

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.4

$- y^{3}$ を移動させます。

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.5

$x^{2} y$ を移動させます。

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.6

$y' x y^{2}$ と $- y' x^{3}$ を並べ替えます。

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

括弧を削除します。

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $2 y' x^{2} y^{2}$ を引きます。

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

ステップ 5.3.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

ステップ 5.3.2.2

方程式の両辺に $y^{3}$ を足します。

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.3

$y' x$ を $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y' x$ を $- y' x^{3}$ で因数分解します。

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.3.2

$y' x$ を $y' x y^{2}$ で因数分解します。

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.3.3

$y' x$ を $- 2 y' x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.3.4

$y' x$ を $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ で因数分解します。

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.3.5

$y' x$ を $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ で因数分解します。

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3.5

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ の各項を $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ の各項を $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ で割ります。

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.2.2

$- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1.1.1

$x$ を $- x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.2

$- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.3.1

$\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.3.2

$(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.5.1

$y$ を $- x y x + y^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.5.1.1

$y$ を $- x y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.5.1.2

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.5.1.3

$y$ を $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.5.2

$x \cdot x$ を $x^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.5.3

$- x^{2}$ と $y^{2}$ を並べ替えます。

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.6.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.6.2

$- 1$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.6.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

ステップ 5.3.5.3.6.4

$- 1$ を $- 2 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

ステップ 5.3.5.3.6.5

$- 1$ を $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

ステップ 5.3.5.3.6.6

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.6.6.1

$- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ を $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

ステップ 5.3.5.3.6.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

微分積分 例

微分積分例