微分積分例

$x^{x} y^{2} + 3 y = 4 x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{x} y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (4 x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{x} y^{2} + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{x}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$x^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{x} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.4

対数の性質を利用して微分を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x^{x}$ を $e^{\ln (x^{x})}$ に書き換えます。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.4.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{x})$ を展開します。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x \ln (x)$ とします。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x \ln (x)$ で置き換えます。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.6

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.7

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.9

$2$ を $x^{x}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.10

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.11

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

共通因数を約分します。

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.11.2

式を書き換えます。

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.2.12

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 y'$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} \cdot 1 + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

ステップ 2.4.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y' = 4$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

ステップ 5.2

$e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x)$ の因数を並べ替えます。

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

ステップ 5.3

$- 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$ の因数を並べ替えます。

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4$

ステップ 5.4

方程式を $- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ として書き換えます。

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$

ステップ 5.5

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}$

ステップ 5.6

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

ステップ 5.7

$y'$ を $- 2 y y' x^{x} - 3 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$y'$ を $- 2 y y' x^{x}$ で因数分解します。

$y' (- 2 y x^{x}) - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

ステップ 5.7.2

$y'$ を $- 3 y'$ で因数分解します。

$y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

ステップ 5.7.3

$y'$ を $y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3$ で因数分解します。

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

ステップ 5.8

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ の各項を $- 2 y x^{x} - 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ の各項を $- 2 y x^{x} - 3$ で割ります。

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

ステップ 5.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1

$- 2 y x^{x} - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

ステップ 5.8.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

ステップ 5.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

ステップ 5.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

ステップ 5.8.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

ステップ 5.8.3.4

$- 1$ を $- 2 y x^{x}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 3}$

ステップ 5.8.3.5

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 1 (3)}$

ステップ 5.8.3.6

$- 1$ を $- (2 y x^{x}) - 1 (3)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x} + 3)}$

ステップ 5.8.3.7

負の数を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.3.7.1

$- (2 y x^{x} + 3)$ を $- 1 (2 y x^{x} + 3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 1 (2 y x^{x} + 3)}$

ステップ 5.8.3.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$

微分積分 例

微分積分例