微分積分例

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x y - y^{2}$ および $g (x) = y - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x y - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.5.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.5.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.6

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.8

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.9

総和則では、 $y - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.10

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ を展開します。

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.2.1

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2.3

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.2.3.1

$y$ を移動させます。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2.3.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.2.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.3

$y (x y')$ と $2 x y y'$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.3.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.3.2

$x y y'$ と $2 x y y'$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.4

$- - y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.4.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.6.1

$- x y \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.1.6.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.6.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.6.2

$- 1$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.1.6.3

$- 1 y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.2

$y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.2.2.1

$- x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.2.2

$y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.2.3

$y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.2.4

$- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.3

$- 2 y^{2} y'$ と $y^{2} y'$ をたし算します。

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.2.4

$3 x y y'$ から $x y y'$ を引きます。

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

ステップ 2.14.3

項を並べ替えます。

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.1

$y'$ を $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.1.1

$y'$ を $- y^{2} y'$ で因数分解します。

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.1.2

$y'$ を $- x^{2} y'$ で因数分解します。

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.1.3

$y'$ を $2 x y y'$ で因数分解します。

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.1.4

$y'$ を $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.1.5

$y'$ を $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ で因数分解します。

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.2.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.1.2

$- y^{2}$ と $2 x y$ を並べ替えます。

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.1.3

$2$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.1.4

$2$ を $1$ プラス $1$ に書き換える

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.1.6

$x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.1.7

$x y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.14.4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.2.3

最大公約数 $- x + y$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.4.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.2

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.4

$- (x - y)$ を $- 1 (x - y)$ に書き換えます。

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.5

$x - y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.6

$x - y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.4.4

負をくくり出します。

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5

${(x - y)}^{2}$ と ${(- x + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.14.5.1

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.2

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.3

$- 1$ を $- 1 (- x) - (y)$ で因数分解します。

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.4

積の法則を $- 1 (- x + y)$ に当てはめます。

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.6

${(- x + y)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.7

共通因数を約分します。

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

ステップ 2.14.5.8

$- y'$ を $1$ で割ります。

$- y'$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- y' = 0$

ステップ 5

$- y' = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- y' = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$y' = 0$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 0$

微分積分 例

微分積分例