微分積分例

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

ステップ 1.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

ステップ 1.4

$x^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

ステップ 1.5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

ステップ 1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 2

$u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ とします。次に $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 2.1.3.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.1.3.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 2.1.3.9

$9$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 2.1.3.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.3.11

$3$ を $9$ で因数分解します。

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.12.1

$3$ を $3 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 2.1.3.12.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.3.12.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.4

$0$ と $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ をたし算します。

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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