微分積分例

$y^{5} = x^{2} - 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{5}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 y^{4} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$5 y^{4} y' = 2 x$

ステップ 5

$5 y^{4} y' = 2 x$ の各項を $5 y^{4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$5 y^{4} y' = 2 x$ の各項を $5 y^{4}$ で割ります。

$\frac{5 y^{4} y'}{5 y^{4}} = \frac{2 x}{5 y^{4}}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y^{4} y'}{5 y^{4}} = \frac{2 x}{5 y^{4}}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{4} y'}{y^{4}} = \frac{2 x}{5 y^{4}}$

ステップ 5.2.2

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{4} y'}{y^{4}} = \frac{2 x}{5 y^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{5 y^{4}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{5 y^{4}}$

微分積分 例

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