微分積分例

$y = \frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 1 - 3 x$ および $g (x) = x^{2} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 7) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$- 3$ を $x^{2} + 7$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 \cdot (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

式を簡約します。

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ステップ 3.2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

$- 3$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$- 3 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 21 - 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

群による因数分解。

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ステップ 3.3.6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.6.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.1.2

$- 2$ を $7$ プラス $- 9$ に書き換える

$\frac{3 x^{2} + (7 - 9) x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(3 x^{2} + 7 x) - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (3 x + 7) - 3 (3 x + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.3

最大公約数 $3 x + 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例