微分積分例

$y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ を ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.2

${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2.3

$n = - \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.6.2

$- 1$ から $4$ を引きます。

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.7.2

$x^{- \frac{5}{4}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- - \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.7.3

式を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.7.3.2

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.7.3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{4}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot 0$

ステップ 4.9

式を簡約します。

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ステップ 4.9.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + 0$

ステップ 4.9.2

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

微分積分 例

微分積分例