微分積分例

$y = {(x^{2} - 3 y)}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 3 y)}^{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 3 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 3 y$ で置き換えます。

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} - 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ です。

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

ステップ 3.2.3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${(x^{2} - 3 y)}^{2}$ を $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ に書き換えます。

$y' = 3 ((x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y' = 3 (x^{2} (x^{2} - 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = 3 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y' = 3 (x^{4} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y \cdot y) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.4.1

$y$ を移動させます。

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 (y \cdot y)) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y^{2}) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.1.5

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.2

$- 3 x^{2} y$ から $3 y x^{2}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1

$y$ を移動させます。

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.3.2.2

$- 3 x^{2} y$ から $3 x^{2} y$ を引きます。

$y' = 3 (x^{4} - 6 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.4

分配則を当てはめます。

$y' = (3 x^{4} + 3 (- 6 x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$- 6$ に $3$ をかけます。

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.5.2

$9$ に $3$ をかけます。

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$

ステップ 5.1.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(3 x^{4} - 18 x^{2} y + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$ を展開します。

$y' = 3 x^{4} (2 x) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = 3 \cdot 2 x^{4} x + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.2

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$y' = 3 \cdot 2 (x \cdot x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.2.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = 3 \cdot 2 (x^{1} x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = 3 \cdot 2 x^{1 + 4} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$y' = 3 \cdot 2 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.3

$3$ に $2$ をかけます。

$y' = 6 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = 6 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.5

$3$ に $- 3$ をかけます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.6.1

$x$ を移動させます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x \cdot x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x^{1} x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{1 + 2} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{3} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.7

$2$ に $- 18$ をかけます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.8

$- 3$ に $- 18$ をかけます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 \cdot 2 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.10

$27$ に $2$ をかけます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

ステップ 5.1.7.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 \cdot - 3 y^{2} y'$

ステップ 5.1.7.12

$27$ に $- 3$ をかけます。

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y'$

ステップ 5.2

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' = y'$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = 0$

ステップ 5.4

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

方程式の両辺から $6 x^{5}$ を引きます。

$- 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5}$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $36 x^{3} y$ を足します。

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y$

ステップ 5.4.3

方程式の両辺から $54 y^{2} x$ を引きます。

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5

$y'$ を $- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$y'$ を $- 9 x^{4} y'$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4}) + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $54 x^{2} y y'$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $- 81 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5.4

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5.5

$y'$ を $y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5.6

$y'$ を $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2})$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.5.7

$y'$ を $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

ステップ 5.6

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ の各項を $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ の各項を $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ で割ります。

$\frac{y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

$- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.1.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.1.2

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.1

$6 x$ を $- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.1.1

$6 x$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.1.2

$6 x$ を $36 x^{3} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.1.3

$6 x$ を $- 54 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.1.4

$6 x$ を $6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.1.5

$6 x$ を $6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ で和が $b = 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.2.1.1

項を並べ替えます。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} - 9 y^{2} + 6 x^{2} y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.1.2

$- 9 y^{2}$ と $6 x^{2} y$ を並べ替えます。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.1.3

$6$ を $6 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.1.4

$6$ を $3$ プラス $3$ に書き換える

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + (3 + 3) (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 (x^{2} y) + 3 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.1.6

括弧を移動させます。

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y' = \frac{6 x ((- x^{4} + 3 x^{2} y) + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y' = \frac{6 x (x^{2} (- x^{2} + 3 y) - 3 y (- x^{2} + 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.2.3

最大公約数 $- x^{2} + 3 y$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y' = \frac{6 x ((- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

$y' = \frac{6 x (- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.3.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.2

$- 1$ を $3 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) - (- 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 3 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{6 x (- (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.4

$- (x^{2} - 3 y)$ を $- 1 (x^{2} - 3 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{6 x (- 1 (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.5

$x^{2} - 3 y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.6

$x^{2} - 3 y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} {(x^{2} - 3 y)}^{1})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{1 + 1}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.2.3.9

$- 1$ に $6$ をかけます。

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.3.2

$- 1$ を $- 9 x^{4}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.3.3

$- 1$ を $54 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.3.4

$- 1$ を $- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

ステップ 5.6.3.3.5

$- 1$ を $- 81 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2}) - 1}$

ステップ 5.6.3.3.6

$- 1$ を $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1}$

ステップ 5.6.3.3.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)}$

ステップ 5.6.3.3.8

$- 1$ を $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

ステップ 5.6.3.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.3.9.1

$- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ を $- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ に書き換えます。

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

ステップ 5.6.3.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

ステップ 5.6.3.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y' = 1 \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

ステップ 5.6.3.3.9.4

$\frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例