微分積分例

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 \sqrt{x} = 0$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ です。

$6 y y' - \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x y$ とします。

$6 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$6 y y' - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$6 y y' - (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 y y' - (\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3.6

$y$ に $1$ をかけます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.4.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.4.9

$- 5$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$6 y y' - \cos (x y) (x y') - \cos (x y) y - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$6 y y' - x y' \cos (x y) - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $y \cos (x y)$ を足します。

$6 y y' - x y' \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = y \cos (x y)$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺に $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を足します。

$6 y y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3

$y'$ を $6 y y' - x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$y'$ を $6 y y'$ で因数分解します。

$y' (6 y) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.2

$y'$ を $- x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

$y' (6 y) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3.3

$y'$ を $y' (6 y) + y' (- x \cos (x y))$ で因数分解します。

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.4

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $6 y - x \cos (x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の各項を $6 y - x \cos (x y)$ で割ります。

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$6 y - x \cos (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

ステップ 6.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$

ステップ 6.4.3.1.2

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$ をかけます。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 6.4.3.2

$\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 6.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(6 y - x \cos (x y)) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.4.3.3.1

$\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 6.4.3.3.2

$(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 6.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 6.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 6.4.3.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 6.4.3.5.2

$\frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

微分積分 例

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