微分積分例

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2} - 5 x + 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} - 5 x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 5 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.5

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.7

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.2.8

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

ステップ 3.2.9

$6 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ の因数を並べ替えます。

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

ステップ 3.3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.2.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 5$ を $- 2$ プラス $- 3$ に書き換える

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

ステップ 3.3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

ステップ 3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

ステップ 3.3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

ステップ 3.3.2.3

最大公約数 $3 x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

ステップ 3.3.3

$6 x - 5$ に $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ をかけます。

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

微分積分 例

微分積分例