微分積分例

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

ステップ 2

$a$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

ステップ 3.2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

$5$ と $\frac{1}{x^{0.3}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

ステップ 3.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.2.1

$y^{0.6}$ と $\frac{5}{x^{0.3}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

ステップ 3.2.2.2

$5$ を $y^{0.6}$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ と $z$ をまとめます。

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{5}{x^{0.3}}$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ の微分係数は $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ です。

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

ステップ 3.3

$f (z) = y^{0.6}$ および $g (z) = z$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

ステップ 3.4.2

$y^{0.6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

ステップ 3.5

$f (z) = z^{0.6}$ および $g (z) = y$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

ステップ 3.5.2

$n = 0.6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

ステップ 3.5.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

ステップ 3.6

$0.6$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d z} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

ステップ 3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

ステップ 3.9

簡約します。

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ステップ 3.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

ステップ 3.9.2

項をまとめます。

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ステップ 3.9.2.1

$\frac{5}{x^{0.3}}$ と $y^{0.6}$ をまとめます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

ステップ 3.9.2.2

$0.6$ と $\frac{1}{y^{0.4}}$ をまとめます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

ステップ 3.9.2.3

$z$ と $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ をまとめます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

ステップ 3.9.2.4

$0.6$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

ステップ 3.9.2.5

$\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

ステップ 3.9.2.6

$\frac{5}{x^{0.3}}$ に $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ をかけます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

ステップ 3.9.2.7

$0.6$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

ステップ 3.9.3

項を並べ替えます。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ として書き換えます。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ を引きます。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

ステップ 5.3

両辺に $x^{0.3} y^{0.4}$ を掛けます。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$x^{0.3} y^{0.4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

ステップ 5.4.1.1.2

式を書き換えます。

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$x^{0.3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1.1

$- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

ステップ 5.4.2.1.1.2

$x^{0.3}$ を $x^{0.3} y^{0.4}$ で因数分解します。

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

ステップ 5.4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

ステップ 5.4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

ステップ 5.4.2.1.2

指数を足して $y^{0.6}$ に $y^{0.4}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.2.1.2.1

$y^{0.4}$ を移動させます。

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

ステップ 5.4.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

ステップ 5.4.2.1.2.3

$0.4$ と $0.6$ をたし算します。

$3 z y' = - 5 y^{1}$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 5 y^{1}$ を簡約します。

$3 z y' = - 5 y$

ステップ 5.5

$3 z y' = - 5 y$ の各項を $3 z$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$3 z y' = - 5 y$ の各項を $3 z$ で割ります。

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

ステップ 5.5.2.2

$z$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

ステップ 5.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$- 5$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1

$1$ を $- 5 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

ステップ 5.5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.2.1

$1$ を $3 z$ で因数分解します。

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

ステップ 5.5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

ステップ 5.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d z}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$

微分積分 例

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