微分積分例

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

ステップ 2

$t$ に関する $x$ の微分係数は $x'$ です。

$x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{2} + 1$ および $g (t) = t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $t^{2} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.3.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.3.4

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.4

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.5

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

ステップ 3.9

分数をまとめます。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

ステップ 3.9.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

ステップ 3.10.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

ステップ 3.10.2.2

$2 t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

ステップ 3.10.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

ステップ 3.10.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

ステップ 5

$x'$ を $\frac{d x}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

微分積分 例

微分積分例