微分積分例

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

ステップ 2

$x$ に関する $w$ の微分係数は $w'$ です。

$w'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.2.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.2.4.2

${(2 x - 7)}^{- 1}$ に $1$ をかけます。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 2 x - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 7$ とします。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 7$ で置き換えます。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $2 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

ステップ 3.4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

ステップ 3.4.4

$2$ に $1$ をかけます。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

ステップ 3.4.5

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

ステップ 3.4.6

式を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

ステップ 3.4.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項を並べ替えます。

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.5

$x$ と $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.6

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.6.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.6.2

$- 5$ と $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.6.3

$- 5$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.7

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.7.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

ステップ 3.5.2.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

ステップ 3.5.3

$\frac{1}{2 x - 7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ を掛けます。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(2 x - 7)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.5.4.1

$\frac{1}{2 x - 7}$ に $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ をかけます。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

$2 x - 7$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.3

$2 x - 7$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.6.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.6.2

$0$ から $7$ を引きます。

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.8

$- 7$ から $10$ を引きます。

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 3.5.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

ステップ 5

$w'$ を $\frac{d w}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例