微分積分例

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

ステップ 2

$t$ に関する $v'$ の微分係数は $v''$ です。

$v''$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (t) = 1 - t$ および $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = 1 + t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + t^{2}$ とします。

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + t^{2}$ で置き換えます。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $1 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.3.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ をたし算します。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $1 - t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ です。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.7

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.8

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t]$ をたし算します。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 3.3.9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

ステップ 3.3.11.2

$- 1$ を ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ の左に移動させます。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.3.11.3

$- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ を $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

ステップ 3.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

$t$ と $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.4

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.5

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ を掛けます。

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.6

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ と $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ をまとめます。

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$- 1$ を $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1.1

$1$ と $t^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.1.1.2

$1$ と $- t$ を並べ替えます。

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.1.1.3

$1$ と $t^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.1.2

$- 1$ を $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.1.4

$- 1$ を $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.2

$t^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.5.2.1

$t^{2} + 1$ を ${(t^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.3

$- t + 1$ に $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.4

$2$ を $- t + 1$ の左に移動させます。

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.7

項を並べ替えます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8

因数分解した形で $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ を書き換えます。

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ステップ 3.4.5.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.4.1

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.4.1.1

$t$ を移動させます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8.4.1.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.5.8.5

$t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

ステップ 3.4.7

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{1}{t^{2} + 1}$ に $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ をかけます。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

ステップ 3.4.7.2

$t^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

ステップ 3.4.7.3

$t^{2} + 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

ステップ 3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.8

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.9

$- 1$ を $2 t$ で因数分解します。

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.10

$- 1$ を $- (t^{2}) - (- 2 t)$ で因数分解します。

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.11

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.12

$- 1$ を $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.13

$- (t^{2} - 2 t - 1)$ を $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ に書き換えます。

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.14

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.16

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$v'$ を $\frac{d v}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例