微分積分例

$u = \frac{\sqrt{x}}{1 - x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x})$

ステップ 3

$x$ に関する $u$ の微分係数は $u'$ です。

$u'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.8

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.12

掛け算します。

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ステップ 4.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.12.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.14

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15

簡約します。

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ステップ 4.15.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.15.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.15.2.1.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.4

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.15.2.1.4.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.15.2.1.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.1.4.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.5

$- x^{\frac{1}{2}}$ と $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ をたし算します。

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ステップ 4.15.2.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.2.5.2

$- x^{\frac{1}{2}}$ と $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3

項をまとめます。

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ステップ 4.15.3.1

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.2

まとめる。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.15.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.15.3.5.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1 + 2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.6

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.15.3.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.6.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.6.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1 + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.3.7

$x^{1}$ を簡約します。

$\frac{1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.15.4

項を並べ替えます。

$\frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$u' = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 6

$u'$ を $\frac{d u}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d u}{d x} = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例