微分積分例

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 u' - 9}$ を ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ に書き換えます。

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

ステップ 1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 3

$u'$ に関する $u$ の微分係数は $u'$ です。

$u'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ および $g (u') = 2 u' - 9$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ は $f' (g (u')) g' (u')$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 u' - 9$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $2 u' - 9$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.6.2

$\frac{1}{4}$ と ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

ステップ 4.7

総和則では、 $2 u' - 9$ の $u'$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ です。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

ステップ 4.8

$2$ は $u'$ に対して定数なので、 $u'$ に対する $2 u'$ の微分係数は $2 \frac{d}{d v} [u']$ です。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

ステップ 4.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ は $n {u'}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

ステップ 4.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

ステップ 4.11

$- 9$ は $u'$ について定数なので、 $u'$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

ステップ 4.12

項を簡約します。

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ステップ 4.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

ステップ 4.12.2

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 4.12.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 4.13

共通因数を約分します。

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ステップ 4.13.1

$2$ を $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

ステップ 4.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

ステップ 4.13.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

ステップ 6

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$u' \approx 4.52650004$

ステップ 7

$u'$ を $\frac{d u}{d v}$ で置き換えます。

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$

微分積分 例

微分積分例