微分積分例

$R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (R) = \frac{d}{d x} (2 x (900 + 32 x - x^{2}))$

ステップ 2

$x$ に関する $R$ の微分係数は $R'$ です。

$R'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x (900 + 32 x - x^{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 900 + 32 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [900 + 32 x - x^{2}] + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $900 + 32 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$2 (x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$900$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $900$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [32 x]$ をたし算します。

$2 (x (\frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x (32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.6

$32$ に $1$ をかけます。

$2 (x (32 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (x (32 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (32 - (2 x)) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 3.3.11

$900 + 32 x - x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 (x (32 - 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot 32 + x (- 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot 32) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$32$ を $x$ の左に移動させます。

$2 (32 \cdot x) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.2

$32$ に $2$ をかけます。

$64 x + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$64 x + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$64 x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$64 x - 4 x^{2} + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.8

$2$ に $900$ をかけます。

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.9

$32$ に $2$ をかけます。

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 64 x + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.10

$64 x$ と $64 x$ をたし算します。

$128 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (- x^{2})$

ステップ 3.4.3.11

$- 1$ に $2$ をかけます。

$128 x - 4 x^{2} + 1800 - 2 x^{2}$

ステップ 3.4.3.12

$- 4 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$128 x - 6 x^{2} + 1800$

ステップ 3.4.4

項を並べ替えます。

$- 6 x^{2} + 128 x + 1800$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$R' = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

ステップ 5

$R'$ を $\frac{d R}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d R}{d x} = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

微分積分 例

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