微分積分例

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ に $t^{3}$ をかけます。

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

ステップ 3

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ です。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{3} t^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.2.4

$\frac{3}{3}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.2.5.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 7 t^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.3.3

$2$ に $- 7$ をかけます。

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.4

$\frac{d}{d t} [49 t]$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$49$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $49 t$ の微分係数は $49 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.4.3

$49$ に $1$ をかけます。

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

ステップ 4.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.5.1

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

ステップ 4.5.2

$t^{2} - 14 t + 49$ と $0$ をたし算します。

$t^{2} - 14 t + 49$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

ステップ 6

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$

微分積分 例

微分積分例