微分積分例

$s = \tan (t) - e^{- t}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\tan (t) - e^{- t})$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\tan (t) - e^{- t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$

ステップ 3.2

$t$ に関する $\tan (t)$ の微分係数は $\sec^{2} (t)$ です。

$\sec^{2} (t) + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{- t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$\sec^{2} (t) - \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

ステップ 3.3.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- t$ とします。

$\sec^{2} (t) - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\sec^{2} (t) - (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$\sec^{2} (t) - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

ステップ 3.3.3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\sec^{2} (t) - (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (t) - (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (t) - (e^{- t} \cdot - 1)$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を $e^{- t}$ の左に移動させます。

$\sec^{2} (t) - (- 1 \cdot e^{- t})$

ステップ 3.3.7

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$\sec^{2} (t) - - e^{- t}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sec^{2} (t) + 1 e^{- t}$

ステップ 3.3.9

$e^{- t}$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (t) + e^{- t}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$e^{- t} + \sec^{2} (t)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = e^{- t} + \sec^{2} (t)$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = e^{- t} + \sec^{2} (t)$

微分積分 例

微分積分例