微分積分例

$s = \frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)})$

ステップ 2

$t$ に関する $s$ の微分係数は $s'$ です。

$s'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = 1 + \sec (t)$ および $g (t) = 1 - \sec (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 + \sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 + \sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [\sec (t)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.3

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) (\sec (t) \tan (t)) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $1 - \sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [- \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \sec (t)$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (- \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.5

掛け算します。

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ステップ 3.4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + 1 (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.5.2

$1 + \sec (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.5

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) (\sec (t) \tan (t))}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 \sec (t) - \sec (t) \sec (t)) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 \sec (t) + \sec (t) \sec (t)) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.5.1

$1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.6.5.1.1

$- \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ と $\sec (t) \sec (t) \tan (t)$ をたし算します。

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + 0}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.5.1.2

$1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.5.2.1

$\sec (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.5.2.2

$\sec (t)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6.5.3

$\sec (t) \tan (t)$ と $\sec (t) \tan (t)$ をたし算します。

$\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$s' = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

ステップ 5

$s'$ を $\frac{d s}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

微分積分 例

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