微分積分例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 4$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 4$ です。

$12 x^{2} - 4$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$12 x^{2} = 4$

ステップ 2.3

$12 x^{2} = 4$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$12 x^{2} = 4$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{12}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ を $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 4$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.3

$3$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.4

$9$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.2.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.1.2.1.5

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.6.5

指数を求めます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.1.2.1.7

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 4$

ステップ 3.1.2.1.8

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.8.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 4$

ステップ 3.1.2.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.8.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 4$

ステップ 3.1.2.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 4$

ステップ 3.1.2.1.8.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 4$

ステップ 3.1.2.1.9

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 4$

ステップ 3.1.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 4$

ステップ 3.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

ステップ 3.1.2.2.3

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

ステップ 3.1.2.2.4

$\frac{4}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 3.1.2.2.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.1.2.2.6

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.1.2.4.2

$4$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 36}{9}$

ステップ 3.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$1$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 36}{9}$

ステップ 3.1.2.5.2

$- 5$ と $36$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{31}{9}$

ステップ 3.1.2.6

最終的な答えは $\frac{31}{9}$ です。

$\frac{31}{9}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 4$ で代入して $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$

ステップ 3.3

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ を $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 4$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.3

$\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.5

$3$ を $4$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.6

$9$ と $81$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.6.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.6.2.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 4$

ステップ 3.3.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 4$

ステップ 3.3.2.1.7.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 4$

ステップ 3.3.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 4$

ステップ 3.3.2.1.9

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.10

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.10.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.10.5

指数を求めます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 4$

ステップ 3.3.2.1.11

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 4$

ステップ 3.3.2.1.12

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.12.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 4$

ステップ 3.3.2.1.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.12.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 4$

ステップ 3.3.2.1.12.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 4$

ステップ 3.3.2.1.12.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 4$

ステップ 3.3.2.1.13

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 4$

ステップ 3.3.2.1.14

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 4$

ステップ 3.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

ステップ 3.3.2.2.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

ステップ 3.3.2.2.3

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

ステップ 3.3.2.2.4

$\frac{4}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 3.3.2.2.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.3.2.2.6

$3$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 4 \cdot 9}{9}$

ステップ 3.3.2.4.2

$4$ に $9$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 36}{9}$

ステップ 3.3.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$1$ から $6$ を引きます。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 36}{9}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 5$ と $36$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{31}{9}$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $\frac{31}{9}$ です。

$\frac{31}{9}$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 4$ で代入して $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 求めた点は、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.67735026$ で置換えます。

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

ステップ 5.2.2

$5.50564064$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1.50564064$ です。

$1.50564064$

ステップ 5.3

$- 0.67735026$ で二次導関数は $1.50564064$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ で増加

ステップ 6

区間 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 4$

ステップ 6.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$f'' (0) = - 4$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 6.3

$0$ で二次導関数は $- 4$ です。これは負の値なので、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.67735026$ で置換えます。

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.67735026$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $0.45880338$ をかけます。

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

ステップ 7.2.2

$5.50564064$ から $4$ を引きます。

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.50564064$ です。

$1.50564064$

ステップ 7.3

$0.67735026$ で二次導関数は $1.50564064$ です。これは正の値なので、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{31}{9})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例