微分積分例

$q = \sqrt[3]{r} + \frac{6}{r}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{r}$ を $r^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$q = r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} (r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r})$

ステップ 3

$r$ に関する $q$ の微分係数は $q'$ です。

$q'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $r^{\frac{1}{3}} + \frac{6}{r}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ です。

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d r} [\frac{6}{r}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$6$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $\frac{6}{r}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$ です。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{r}$ を $r^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 \frac{d}{d r} [r^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} + 6 (- r^{- 2})$

ステップ 4.3.4

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}} - 6 r^{- 2}$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 r^{- 2}$

ステップ 4.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

ステップ 4.4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.4.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - 6 \frac{1}{r^{2}}$

ステップ 4.4.3.2

$- 6$ と $\frac{1}{r^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 6}{r^{2}}$

ステップ 4.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{r^{2}}$

ステップ 4.4.4

項を並べ替えます。

$- \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$q' = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

$q'$ を $\frac{d q}{d r}$ で置き換えます。

$\frac{d q}{d r} = - \frac{6}{r^{2}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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