微分積分例

$p = {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} ({(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{10})$

ステップ 2

$q$ に関する $p$ の微分係数は $p'$ です。

$p'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (q) = {(5 q^{2} - 4)}^{5}$ および $g (q) = {(2 q + 3)}^{10}$ のとき、 $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ は $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(5 q^{2} - 4)}^{5} \frac{d}{d q} [{(2 q + 3)}^{10}] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.2

$f (q) = q^{10}$ および $g (q) = 2 q + 3$ のとき、 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ は $f' (g (q)) g' (q)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 q + 3$ とします。

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{10}] \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.2.2

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {u_{1}}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 q + 3$ で置き換えます。

${(5 q^{2} - 4)}^{5} (10 {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$10$ を ${(5 q^{2} - 4)}^{5}$ の左に移動させます。

$10 \cdot {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \frac{d}{d q} [2 q + 3] + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $2 q + 3$ の $q$ に関する積分は $\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]$ です。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (\frac{d}{d q} [2 q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.3

$2$ は $q$ に対して定数なので、 $q$ に対する $2 q$ の微分係数は $2 \frac{d}{d q} [q]$ です。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ は $n q^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + \frac{d}{d q} [3]) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.6

$3$ は $q$ について定数なので、 $q$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} (2 + 0) + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} \cdot 2 + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.3.7.2

$2$ に $10$ をかけます。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} \frac{d}{d q} [{(5 q^{2} - 4)}^{5}]$

ステップ 3.4

$f (q) = q^{5}$ および $g (q) = 5 q^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ は $f' (g (q)) g' (q)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 q^{2} - 4$ とします。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

ステップ 3.4.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 q^{2} - 4$ で置き換えます。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + {(2 q + 3)}^{10} (5 {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4])$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$5$ を ${(2 q + 3)}^{10}$ の左に移動させます。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 \cdot {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} \frac{d}{d q} [5 q^{2} - 4]$

ステップ 3.5.2

総和則では、 $5 q^{2} - 4$ の $q$ に関する積分は $\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4]$ です。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (\frac{d}{d q} [5 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

ステップ 3.5.3

$5$ は $q$ に対して定数なので、 $q$ に対する $5 q^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ です。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 \frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 4])$

ステップ 3.5.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ は $n q^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (5 (2 q) + \frac{d}{d q} [- 4])$

ステップ 3.5.5

$2$ に $5$ をかけます。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + \frac{d}{d q} [- 4])$

ステップ 3.5.6

$- 4$ は $q$ について定数なので、 $q$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q + 0)$

ステップ 3.5.7

式を簡約します。

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ステップ 3.5.7.1

$10 q$ と $0$ をたし算します。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 5 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (10 q)$

ステップ 3.5.7.2

$10$ に $5$ をかけます。

$20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ を $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9} + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.1

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ を $20 {(5 q^{2} - 4)}^{5} {(2 q + 3)}^{9}$ で因数分解します。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$

ステップ 3.6.1.2

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ を $50 {(2 q + 3)}^{10} {(5 q^{2} - 4)}^{4} q$ で因数分解します。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$

ステップ 3.6.1.3

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9}$ を $10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4)) + 10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (5 (2 q + 3) q)$ で因数分解します。

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

ステップ 3.6.2

$10 {(5 q^{2} - 4)}^{4} {(2 q + 3)}^{9} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$ の因数を並べ替えます。

$10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$p' = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

ステップ 5

$p'$ を $\frac{d p}{d q}$ で置き換えます。

$\frac{d p}{d q} = 10 {(2 q + 3)}^{9} {(5 q^{2} - 4)}^{4} (2 (5 q^{2} - 4) + 5 (2 q + 3) q)$

微分積分 例

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