微分積分例

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\cos (r) + \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = r$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $r$ で置き換えます。

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [r]$ を $r'$ に書き換えます。

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = r x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $r x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $r x$ で置き換えます。

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

ステップ 3.2

$f (x) = r$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

ステップ 3.3.2

$r$ に $1$ をかけます。

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [r]$ を $r'$ に書き換えます。

$e^{r x} (r + x r')$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5

$r'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.1.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.1.1.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.1.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.1.1.2.2

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.1.1.2.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.1.1.3

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$ の因数を並べ替えます。

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

ステップ 5.3

$r'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $x r' e^{r x}$ を引きます。

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.3.2.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.3.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

ステップ 5.4

方程式の両辺に $\csc^{2} (x)$ を足します。

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

ステップ 5.5

$r'$ を $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$r'$ を $- r' \sin (r)$ で因数分解します。

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

ステップ 5.5.2

$r'$ を $- x r' e^{r x}$ で因数分解します。

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

ステップ 5.5.3

$r'$ を $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ で因数分解します。

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

ステップ 5.6

$- 1 \sin (r)$ を $- \sin (r)$ に書き換えます。

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

ステップ 5.7

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ の各項を $- \sin (r) - x e^{r x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ の各項を $- \sin (r) - x e^{r x}$ で割ります。

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$- \sin (r) - x e^{r x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.2.1.2

$r'$ を $1$ で割ります。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.3.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.3.1.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

ステップ 5.7.3.1.3

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ に $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ をかけます。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

ステップ 5.7.3.2

$\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

ステップ 5.7.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.7.3.3.1

$\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

ステップ 5.7.3.3.2

$(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

ステップ 5.7.3.4

公分母の分子をまとめます。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

ステップ 5.7.3.5

$- 1$ を $- \sin (r)$ で因数分解します。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

ステップ 5.7.3.6

$- 1$ を $- x e^{r x}$ で因数分解します。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

ステップ 5.7.3.7

$- 1$ を $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ で因数分解します。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

ステップ 5.7.3.8

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.7.3.8.1

$- (\sin (r) + x e^{r x})$ を $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ に書き換えます。

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

ステップ 5.7.3.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

ステップ 6

$r'$ を $\frac{d r}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

微分積分 例

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