微分積分例

$r = (2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

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ステップ 1.1

括弧を削除します。

$r = 2 {(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2

${(\tan^{3} (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{3 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$r = 2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $r$ の微分係数は $r'$ です。

$r'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = \tan (2 x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (2 x - 1)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (2 x - 1)$ で置き換えます。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{3}{2} {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.7

$\frac{3}{2}$ と ${\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)])$

ステップ 4.8

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.9

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.10

$2$ を $6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.11

共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.11.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.11.3

式を書き換えます。

$\frac{3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.11.4

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 1)]$

ステップ 4.12

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.12.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x - 1$ とします。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 4.12.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 4.12.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

ステップ 4.13

微分します。

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ステップ 4.13.1

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.13.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.13.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.13.4

$2$ に $1$ をかけます。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.13.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) (2 + 0)$

ステップ 4.13.6

式を簡約します。

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ステップ 4.13.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$3 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1) \cdot 2$

ステップ 4.13.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$r' = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

ステップ 6

$r'$ を $\frac{d r}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d x} = 6 {\tan (2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x - 1)$

微分積分 例

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