微分積分例

$r = \cos (x) \cot (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\cos (x) \cot (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $r$ の微分係数は $r'$ です。

$r'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

項を並べ替えます。

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

ステップ 3.4.2.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

ステップ 3.4.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

ステップ 3.4.2.4

$\cos (x)$ と $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

ステップ 3.4.2.5

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.5.1

括弧を付けます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

ステップ 3.4.2.5.2

正弦と余弦に関して $- \cot (x) \sin (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

ステップ 3.4.2.5.3

共通因数を約分します。

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.4.3.2

分数を分解します。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

ステップ 3.4.3.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

ステップ 3.4.3.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$r' = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

ステップ 5

$r'$ を $\frac{d r}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d x} = - \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$

微分積分 例

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