微分積分例

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

ステップ 2

$M$ に関する $r$ の微分係数は $r'$ です。

$r'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (M) = M^{2}$ および $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ は $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ の $M$ に関する積分は $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ です。

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{c}{2}$ は $M$ について定数なので、 $M$ について $\frac{c}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ をたし算します。

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{3}$ は $M$ に対して定数なので、 $M$ に対する $- \frac{M}{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ です。

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.5

$M^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ は $n M^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

ステップ 3.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ は $n M^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

ステップ 3.2.9

$2$ を $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ の左に移動させます。

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

ステップ 3.3

公分母を利用して $- \frac{M^{2}}{3}$ と $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ を組み合わせます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{M^{2}}{3}$ と $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ を並べ替えます。

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

ステップ 3.3.2

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

ステップ 3.3.3

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

ステップ 3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

ステップ 3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1.1

$- \frac{M}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.2

$3$ を $6 M$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.3

$M$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.4

$M$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.7.1

$2$ を $6 M$ で因数分解します。

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.1.7.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

ステップ 3.5.2.2

$- 2 M^{2}$ から $M^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

ステップ 3.5.3

$3 M$ を $- 3 M^{2} + 3 M c$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.3.1

$3 M$ を $- 3 M^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

ステップ 3.5.3.2

$3 M$ を $3 M c$ で因数分解します。

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

ステップ 3.5.3.3

$3 M$ を $3 M (- M) + 3 M (c)$ で因数分解します。

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

ステップ 3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

ステップ 3.5.4.2

$M (- M + c)$ を $1$ で割ります。

$M (- M + c)$

ステップ 3.5.5

分配則を当てはめます。

$M (- M) + M c$

ステップ 3.5.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$- M \cdot M + M c$

ステップ 3.5.7

指数を足して $M$ に $M$ を掛けます。

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ステップ 3.5.7.1

$M$ を移動させます。

$- (M \cdot M) + M c$

ステップ 3.5.7.2

$M$ に $M$ をかけます。

$- M^{2} + M c$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$r' = - M^{2} + M c$

ステップ 5

$r'$ を $\frac{d r}{d M}$ で置き換えます。

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$

微分積分 例

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