微分積分例

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{x^{6}}{6}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.5

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.6

$x^{6}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.7

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.7.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.7.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.7.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.2.7.2.5

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{36}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{6}}{36}$ の微分係数は $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 3.3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

ステップ 3.3.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

ステップ 3.3.4

$- 6$ と $\frac{1}{36}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

ステップ 3.3.5

$\frac{- 6}{36}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

ステップ 3.3.6

$- 6$ と $36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.1

$6$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

ステップ 3.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.2.1

$6$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

ステップ 3.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

ステップ 3.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

ステップ 3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.2

$6$ と $\frac{\ln (x)}{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.3

$\frac{6 \ln (x)}{6}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.4.2

$\ln (x) x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.5

$\frac{1}{6} x^{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.6

$\frac{1}{6} x^{5}$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.8

$\frac{1}{6}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.9

$\frac{x^{5}}{6}$ と $6$ をまとめます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.10

$6$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.11

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.11.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.11.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

ステップ 3.4.2.12

$x^{5}$ から $x^{5}$ を引きます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

ステップ 3.4.2.13

$0$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.13.1

$6$ を $0$ で因数分解します。

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

ステップ 3.4.2.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.13.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

ステップ 3.4.2.13.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) x^{5} + 0$

ステップ 3.4.2.14

$\ln (x) x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (x) x^{5}$

ステップ 3.4.3

$\ln (x) x^{5}$ の因数を並べ替えます。

$x^{5} \ln (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x^{5} \ln (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$

微分積分 例

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