微分積分例

$y = \frac{4 x}{1 - \cot (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{1 - \cot (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{1 - \cot (x)}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 - \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1 - \cot (x)$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 - \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ です。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ をたし算します。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cot (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$4 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$4$ と $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4 \cot (x) - 4 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4

$4$ を $- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$4$ を $- 4 x \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.3

$4$ を $- 4 \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.4

$4$ を $4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.5

$4$ を $4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.5

$- 1$ を $- x \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.7

$- 1$ を $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.8

$- 1$ を $- \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.9

$- 1$ を $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.10

$- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ を $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ に書き換えます。

$\frac{4 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例