微分積分例

$y = \frac{x^{5}}{x^{3} - 3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{3} - 3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x^{3} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 3) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{3} - 3) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$5$ を $x^{3} - 3$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $x^{3} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{5} x^{2}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

指数を足して $x^{5}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 (x^{2} x^{5})}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{2 + 5}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(5 x^{3} + 5 \cdot - 3) x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{3} x^{4} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.1.1.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{5 (x^{4} x^{3}) + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 x^{4 + 3} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.1.1.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{5 x^{7} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.1.2

$5$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{5 x^{7} - 15 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$5 x^{7}$ から $3 x^{7}$ を引きます。

$\frac{2 x^{7} - 15 x^{4}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$x^{4}$ を $2 x^{7} - 15 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.4.1

$x^{4}$ を $2 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{3}) - 15 x^{4}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

$x^{4}$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{3}) + x^{4} \cdot - 15}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3

$x^{4}$ を $x^{4} (2 x^{3}) + x^{4} \cdot - 15$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例