微分積分例

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

ステップ 1

括弧を削除します。

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 4.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.2

総和則では、 $10 x^{5} - 16 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ です。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.3

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{5}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.5

$5$ に $10$ をかけます。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.6

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x^{2}$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.8

$2$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 4.2.10

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 4.2.10.2

$x^{2}$ を $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.10.2.1

$x^{2}$ を $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 4.2.10.2.2

$x^{2}$ を $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 4.2.10.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 4.3

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 4.4

$x$ を $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$x$ を $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2

$x$ を $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

ステップ 4.5

共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

ステップ 4.6

$x$ を $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1

$x$ を $50 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

ステップ 4.6.2

$x$ を $- 32 x$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

ステップ 4.6.3

$x$ を $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

ステップ 4.6.4

$x$ を $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

ステップ 4.6.5

$x$ を $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

ステップ 4.7

共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 4.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 4.7.3

式を書き換えます。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

ステップ 4.8

簡約します。

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ステップ 4.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

ステップ 4.8.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1.1

$10$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

ステップ 4.8.2.1.2

$- 3$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

ステップ 4.8.2.2

$50 x^{3}$ から $30 x^{3}$ を引きます。

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

ステップ 4.8.2.3

$- 32$ と $48$ をたし算します。

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

ステップ 4.8.3

$4$ を $20 x^{3} + 16$ で因数分解します。

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ステップ 4.8.3.1

$4$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

ステップ 4.8.3.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

ステップ 4.8.3.3

$4$ を $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ で因数分解します。

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例