微分積分例

$x \ln (y) + y^{3} = \ln (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x \ln (y) + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (y)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.6

$x$ と $\frac{y'}{y}$ をまとめます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2.7

$\ln (y)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, y, 1, x$

ステップ 5.1.2

Since $1, y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

ステップ 5.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 5.1.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 5.1.5

$1, 1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 5.1.6

$y^{1}$ の因数は $y$ そのものです。

$y^{1} = y$

$y$ は $1$ 回発生します。

ステップ 5.1.7

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x^{1} = x$

$x$ は $1$ 回発生します。

ステップ 5.1.8

$y^{1}, x^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y x$

ステップ 5.2

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ の各項に $y x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ の各項に $y x$ を掛けます。

$3 y^{2} y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

$y$ を移動させます。

$3 (y \cdot y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.2.2.1.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$3 (y^{1} y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 y^{1 + 2} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$3 y^{3} y' x + x y' x + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 y^{3} y' x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.2.2

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x)$ の因数を並べ替えます。

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (y x)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$x$ を $y x$ で因数分解します。

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

ステップ 5.2.3.1.3

式を書き換えます。

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = y$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $y x \ln (y)$ を引きます。

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

ステップ 5.3.2

$y' x$ を $3 y^{3} y' x + y' x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y' x$ を $3 y^{3} y' x$ で因数分解します。

$y' x (3 y^{3}) + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

ステップ 5.3.2.2

$y' x$ を $y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x = y - y x \ln (y)$

ステップ 5.3.2.3

$y' x$ を $y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x$ で因数分解します。

$y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$

ステップ 5.3.3

$y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ の各項を $x (3 y^{3} + x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ の各項を $x (3 y^{3} + x)$ で割ります。

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.2.2

$3 y^{3} + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

ステップ 5.3.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

ステップ 5.3.3.3.2

$- \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.3.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (3 y^{3} + x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.3.1

$\frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(3 y^{3} + x) x}$

ステップ 5.3.3.3.3.2

$(3 y^{3} + x) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.5.1

$y$ を $y - y \ln (y) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.5.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y^{1} - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.5.1.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 1 - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.5.1.3

$y$ を $- y \ln (y) x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.5.1.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (1 - 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.5.2

$- 1 \ln (y)$ を $- \ln (y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 5.3.3.3.6

$\frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$

微分積分 例

微分積分例