微分積分例

$y = \frac{- 8 e^{2 x}}{7 x - 2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{- 8 e^{2 x}}{7 x - 2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{2 x}}{7 x - 2}]$

ステップ 3.1.2

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8 e^{2 x}}{7 x - 2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{7 x - 2}]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{7 x - 2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = 7 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

式を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$2$ を $(7 x - 2) e^{2 x}$ の左に移動させます。

$- 8 \frac{2 \cdot ((7 x - 2) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

総和則では、 $7 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.7

$7$ に $1$ をかけます。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.9

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.9.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.9.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 \frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.9.3

$- 8$ と $\frac{2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8 (2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.9.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 (2 (7 x - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{8 ((2 (7 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{8 (2 (7 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} - 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{8 (2 (7 x) e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1.1

$7$ に $2$ をかけます。

$- \frac{8 (14 x e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.1.2

$14$ に $8$ をかけます。

$- \frac{112 (x e^{2 x}) + 8 (2 \cdot - 2 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.1.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{112 x e^{2 x} + 8 (- 4 e^{2 x}) + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.1.4

$- 4$ に $8$ をかけます。

$- \frac{112 x e^{2 x} - 32 e^{2 x} + 8 (- 7 e^{2 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.1.5

$- 7$ に $8$ をかけます。

$- \frac{112 x e^{2 x} - 32 e^{2 x} - 56 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

$- 32 e^{2 x}$ から $56 e^{2 x}$ を引きます。

$- \frac{112 x e^{2 x} - 88 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.5

$8 e^{2 x}$ を $112 x e^{2 x} - 88 e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.5.1

$8 e^{2 x}$ を $112 x e^{2 x}$ で因数分解します。

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x) - 88 e^{2 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.5.2

$8 e^{2 x}$ を $- 88 e^{2 x}$ で因数分解します。

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x) + 8 e^{2 x} (- 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.5.3

$8 e^{2 x}$ を $8 e^{2 x} (14 x) + 8 e^{2 x} (- 11)$ で因数分解します。

$- \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 e^{2 x} (14 x - 11)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

微分積分 例

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