微分積分例

$y = \frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{72}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{12} \cdot \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{x^{6}}{12}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{6} \ln (x)}{12}$ の微分係数は $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ です。

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.5

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{12} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.6

$x^{6}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.7

$x^{6}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

$x$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.7.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.7.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.7.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.2.7.2.5

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{72}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{72}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{6}}{72}$ の微分係数は $- \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 3.3.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{72} (6 x^{5})$

ステップ 3.3.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{72}) x^{5}$

ステップ 3.3.4

$- 6$ と $\frac{1}{72}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{72} x^{5}$

ステップ 3.3.5

$\frac{- 6}{72}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{72}$

ステップ 3.3.6

$- 6$ と $72$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.1

$6$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{72}$

ステップ 3.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.2.1

$6$ を $72$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (12)}$

ステップ 3.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 12}$

ステップ 3.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{12}$

ステップ 3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{12} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{1}{12} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x)}{12} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.2

$6$ と $\frac{\ln (x)}{12}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{12} x^{5} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.3

$\frac{6 \ln (x)}{12}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.4

$6$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.4.1

$6$ を $6 \ln (x) x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.4.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{6 (\ln (x) x^{5})}{6 \cdot 2} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} x^{5} + \frac{\ln (x) x^{5}}{2} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.5

$\frac{1}{12} x^{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{1}{12} x^{5} \cdot \frac{12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.6

$\frac{1}{12} x^{5}$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12}{12} - \frac{x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{1}{12} x^{5} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.8

$\frac{1}{12}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5}}{12} \cdot 12 - x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.9

$\frac{x^{5}}{12}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 12}{12} - x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.10

$12$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 \cdot x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.11

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{\frac{12 x^{5}}{12} - x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.11.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{x^{5} - x^{5}}{12}$

ステップ 3.4.2.12

$x^{5}$ から $x^{5}$ を引きます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{12}$

ステップ 3.4.2.13

$0$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.13.1

$12$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 (0)}{12}$

ステップ 3.4.2.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.13.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + \frac{0}{1}$

ステップ 3.4.2.13.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2} + 0$

ステップ 3.4.2.14

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (x) x^{5}}{2}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} \ln (x)}{2}$

微分積分 例

微分積分例