微分積分例

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

ステップ 2

$u$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ です。

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

ステップ 3.2

$f (u) = u$ および $g (u) = 1 - 4 u$ のとき、 $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ は $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1 - 4 u$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 - 4 u$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ です。

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ をたし算します。

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 4$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $- 4 u$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ です。

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.7

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.9

項を簡約します。

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ステップ 3.3.9.1

$4$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.9.2

$- 4 u$ と $4 u$ をたし算します。

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.9.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.9.4

$2$ と $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

ステップ 3.3.9.5

項を並べ替えます。

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d u}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例