微分積分例

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y^{2}$ とします。

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.4

$2$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.5

$y$ と $\frac{2}{y^{2}}$ をまとめます。

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.6

$\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ と $y'$ をまとめます。

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.7

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.8

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$y$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.3.8.2.3

式を書き換えます。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, y, 1, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 5.2

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ の各項に $y$ を掛けます。

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $12 x^{2} y$ を引きます。

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

ステップ 5.3.2

$2 y'$ を $2 y' + 2 y' y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2 y'$ を $2 y'$ で因数分解します。

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

ステップ 5.3.2.2

$2 y'$ を $2 y' y$ で因数分解します。

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

ステップ 5.3.2.3

$2 y'$ を $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ で因数分解します。

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

ステップ 5.3.3

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ の各項を $2 (1 + y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ の各項を $2 (1 + y)$ で割ります。

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.2.2

$1 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.3.1.2

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.2.1

$2$ を $- 12 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

ステップ 5.3.3.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

ステップ 5.3.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

ステップ 5.3.3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

ステップ 5.3.3.3.2.2

$y$ を $y - 6 x^{2} y$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.3.3.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

ステップ 5.3.3.3.2.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

ステップ 5.3.3.3.2.2.3

$y$ を $- 6 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

ステップ 5.3.3.3.2.2.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

微分積分 例

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