微分積分例

$6 \sqrt{y^{3} + 1} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y^{3} + 1}$ を ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y^{3} + 1$ とします。

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y^{3} + 1$ で置き換えます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.3

総和則では、 $y^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.9

公分母の分子をまとめます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.12

$3 y^{2} y'$ と $0$ をたし算します。

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.13

$\frac{1}{2}$ と ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$6 (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.14

$3$ と $\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.15

$y^{2}$ と $\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.16

$\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$6 \frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$6 \frac{y^{2} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.18

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$6 \frac{3 \cdot y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.19

$6$ と $\frac{3 y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{6 (3 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.20

$3$ に $6$ をかけます。

$\frac{18 (y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.21

$2$ を $18 y^{2} y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.22

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.22.1

$2$ を $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.22.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.2.22.3

式を書き換えます。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{1.5}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ です。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.3.2

$n = 1.5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.3.3

$1.5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + 0$

ステップ 3.4.2

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$

ステップ 4

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} = 0$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺に $3 x^{0.5}$ を足します。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{0.5}$

ステップ 6.2

両辺に ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.3.1.2

式を書き換えます。

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $9 y^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ の各項を $9 y^{2}$ で割ります。

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

ステップ 6.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

ステップ 6.4.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

ステップ 6.4.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$3$ を $3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{9 y^{2}}$

ステップ 6.4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1

$3$ を $9 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

ステップ 6.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

ステップ 6.4.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$

微分積分 例

微分積分例