微分積分例

$\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$

ステップ 1

$\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{x^{5}}{20} + \frac{x^{4}}{6} - \frac{x^{3}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{20}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{20}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{20}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{1}{20}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{5}}{20}$ の微分係数は $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{20}$ をまとめます。

$\frac{5}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$\frac{5}{20}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$5$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.1

$5$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.5.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{4}}{6}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.4

$\frac{4}{6}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.5

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.5.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$

ステップ 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{3}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (3 x^{2})$

ステップ 2.1.1.4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2}$

ステップ 2.1.1.4.4

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{2} x^{2}$

ステップ 2.1.1.4.5

$\frac{- 3}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2}$

ステップ 2.1.1.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $\frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{4}}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{3} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.3

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$x^{3} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.5

$\frac{6}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.6

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.6.1

$3$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.3.6.2.4

$2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3 x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{3} + 2 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + 2 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

ステップ 2.1.2.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

ステップ 2.1.2.4.4

$- 2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

ステップ 2.1.2.4.5

$- 2$ に $3$ をかけます。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

ステップ 2.1.2.4.6

$\frac{- 6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

ステップ 2.1.2.4.7

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.7.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

ステップ 2.1.2.4.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

ステップ 2.1.2.4.7.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.2.4.7.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + 2 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

ステップ 2.1.2.4.7.2.4

$- 3 x$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ です。

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x$ を $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 3 x = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

ステップ 2.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 2.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.2.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.2.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.2.7

最終解は $x (x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - 3$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = {(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = - 216 + 2 {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6$

ステップ 5.2.1.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = - 216 + 2 \cdot 36 - 3 \cdot - 6$

ステップ 5.2.1.3

$2$ に $36$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 216 + 72 - 3 \cdot - 6$

ステップ 5.2.1.4

$- 3$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 216 + 72 + 18$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 216$ と $72$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 144 + 18$

ステップ 5.2.2.2

$- 144$ と $18$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 126$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 126$ です。

$- 126$

ステップ 5.3

$f'' (- 6)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 3, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 8 + 2 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 8 + 2 \cdot 4 - 3 \cdot - 2$

ステップ 6.2.1.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 8 + 8 - 3 \cdot - 2$

ステップ 6.2.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 8 + 8 + 6$

ステップ 6.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 0 + 6$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 6.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- 3, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, 0)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(0, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f'' (0.5) = {(0.5)}^{3} + 2 {(0.5)}^{2} - 3 \cdot 0.5$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.5) = 0.125 + 2 {(0.5)}^{2} - 3 \cdot 0.5$

ステップ 7.2.1.2

$0.5$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.5) = 0.125 + 2 \cdot 0.25 - 3 \cdot 0.5$

ステップ 7.2.1.3

$2$ に $0.25$ をかけます。

$f'' (0.5) = 0.125 + 0.5 - 3 \cdot 0.5$

ステップ 7.2.1.4

$- 3$ に $0.5$ をかけます。

$f'' (0.5) = 0.125 + 0.5 - 1.5$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$0.125$ と $0.5$ をたし算します。

$f'' (0.5) = 0.625 - 1.5$

ステップ 7.2.2.2

$0.625$ から $1.5$ を引きます。

$f'' (0.5) = - 0.875$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.875$ です。

$- 0.875$

ステップ 7.3

$f'' (0.5)$ が負なので、区間 $(0, 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 1)$ で下に凹します。

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = {(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 3 \cdot 4$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = 64 + 2 {(4)}^{2} - 3 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 64 + 2 \cdot 16 - 3 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.3

$2$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 64 + 32 - 3 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.4

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = 64 + 32 - 12$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$64$ と $32$ をたし算します。

$f'' (4) = 96 - 12$

ステップ 8.2.2.2

$96$ から $12$ を引きます。

$f'' (4) = 84$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $84$ です。

$84$

ステップ 8.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例