微分積分例

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} y'$

ステップ 3.3

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{y}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 4.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.6.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6.3

公分母の分子をまとめます。

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6.4

$2$ から $1$ を引きます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.10

公分母の分子をまとめます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.11

分子を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.14

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.15

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.15.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.15.2

公分母の分子をまとめます。

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.15.3

$1$ から $1$ を引きます。

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.15.4

$0$ を $2$ で割ります。

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.16

$x^{0}$ を簡約します。

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.17

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

ステップ 4.18

$\ln (x^{\frac{1}{2}})$ に $1$ をかけます。

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 4.19

簡約します。

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ステップ 4.19.1

分配則を当てはめます。

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.19.2

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.19.3

項を並べ替えます。

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1.1

対数の中の $7$ を移動させて $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

ステップ 6.2.2.1.1.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

ステップ 6.2.2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $7$ をまとめます。

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

ステップ 6.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$\frac{7}{2}$ と $y$ をまとめます。

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

微分積分 例

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