微分積分例

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x + \ln (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 + \frac{1}{y} y'$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{y}$ と $y'$ をまとめます。

$3 + \frac{y'}{y}$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} + 3$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$5$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

ステップ 3.6

並べ替えます。

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ステップ 3.6.1

$2$ を $y^{5}$ の左に移動させます。

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $5 y^{4} x^{2} y'$ を引きます。

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 5.3

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ の各項に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.2.1.2

指数を足して $y^{4}$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$y$ を移動させます。

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.2.1.2.2

$y$ に $y^{4}$ をかけます。

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ステップ 5.3.2.1.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.2.1.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

指数を足して $y^{5}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$y$ を移動させます。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

ステップ 5.3.3.1.2

$y$ に $y^{5}$ をかけます。

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ステップ 5.3.3.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

ステップ 5.3.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

ステップ 5.3.3.1.3

$1$ と $5$ をたし算します。

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.2.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

ステップ 5.4.2.2

$y'$ を $- 5 y^{5} x^{2} y'$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

ステップ 5.4.2.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ で因数分解します。

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

ステップ 5.4.3

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ の各項を $1 - 5 y^{5} x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ の各項を $1 - 5 y^{5} x^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 5.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.2.1

$1 - 5 y^{5} x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 5.4.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 5.4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 5.4.3.3.2

$y$ を $2 y^{6} x - 3 y$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.3.3.2.1

$y$ を $2 y^{6} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 5.4.3.3.2.2

$y$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 5.4.3.3.2.3

$y$ を $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

微分積分 例

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