微分積分例

$x^{3} = \ln (x y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x y))$

ステップ 2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

ステップ 3.6.2

項をまとめます。

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ステップ 3.6.2.1

$x$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

ステップ 3.6.2.2

$\frac{x}{x y}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 3.6.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 3.6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 3.6.2.4

$\frac{1}{x y}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

ステップ 3.6.2.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

ステップ 3.6.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} = \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 3 x^{2}$ として書き換えます。

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 3 x^{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{y'}{y} = 3 x^{2} - \frac{1}{x}$

ステップ 5.3

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} y = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y} y = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

ステップ 5.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$(3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y' = 3 x^{2} y - \frac{1}{x} y$

ステップ 5.4.2.1.2

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y' = 3 x^{2} y - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y - \frac{y}{x}$

微分積分 例

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