微分積分例

$e^{y} = x^{3} \ln (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{y} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.2.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

ステップ 3.3.4

項を並べ替えます。

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

ステップ 5

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ の各項を $e^{y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ の各項を $e^{y}$ で割ります。

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

ステップ 5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

微分積分 例

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